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第一章课后作业：函数与极限

完成函数与极限相关的基础练习题，巩固极限运算和连续性概念

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函数与极限截止日期: 2025-10-22总分: 100分

教师评语：整体完成较好，但第4题计算过程不够详细，需要加强等价无穷小的理解。

第 1 题 (20分)

求极限：\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}

你的答案：

(未作答)

参考答案：

利用重要极限 lim(x→0) (sin x)/x = 1，原式 = 3·lim(x→0) (sin 3x)/(3x) = 3·1 = 3

第 2 题 (20分)

求极限：\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x

你的答案：

(未作答)

参考答案：

利用重要极限 lim(x→∞) (1+1/x)ˣ = e，原式 = [(1+2/x)^(x/2)]² = e²

第 3 题 (20分)

判断函数 f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} 在 x=1 处的连续性

你的答案：

(未作答)

参考答案：

当x≠1时，f(x) = x+1；lim(x→1) f(x) = 2，但f(1)不存在，所以在x=1处不连续

第 4 题 (20分)

求极限：\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}

你的答案：

(未作答)

参考答案：

利用等价无穷小 1-cos x ~ x²/2，原式 = lim(x→0) (x²/2)/x² = 1/2

第 5 题 (20分)

证明函数 f(x) = x³ 在 (-∞, +∞) 上连续

你的答案：

(未作答)

参考答案：

多项式函数在其定义域内处处连续，因此f(x)=x³在(-∞,+∞)上连续