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第一章课后作业：函数与极限

学生：王五 (2021003)

函数与极限提交时间: 2025-10-15T11:45:00

总分

/ 100

第 1 题 (20分)

题目：

求极限：\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}

学生答案：

利用重要极限，原式 = 3 × lim(x→0) (sin 3x)/(3x) = 3 × 1 = 3

参考答案：

利用重要极限 lim(x→0) (sin x)/x = 1，原式 = 3·lim(x→0) (sin 3x)/(3x) = 3·1 = 3

得分：

/ 20分

单题评语：

第 2 题 (20分)

题目：

求极限：\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x

学生答案：

设 t = x/2，则原式 = lim(t→∞) [(1+1/t)^t]² = e²

参考答案：

利用重要极限 lim(x→∞) (1+1/x)ˣ = e，原式 = [(1+2/x)^(x/2)]² = e²

得分：

/ 20分

单题评语：

第 3 题 (20分)

题目：

判断函数 f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} 在 x=1 处的连续性

学生答案：

函数在 x=1 处无定义，因此不连续

参考答案：

当x≠1时，f(x) = x+1；lim(x→1) f(x) = 2，但f(1)不存在，所以在x=1处不连续

得分：

/ 20分

单题评语：

第 4 题 (20分)

题目：

求极限：\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}

学生答案：

使用等价无穷小替换，1-cos x ~ x²/2，所以原式 = 1/2

参考答案：

利用等价无穷小 1-cos x ~ x²/2，原式 = lim(x→0) (x²/2)/x² = 1/2

得分：

/ 20分

单题评语：

第 5 题 (20分)

题目：

证明函数 f(x) = x³ 在 (-∞, +∞) 上连续

学生答案：

多项式函数连续，证明略

参考答案：

多项式函数在其定义域内处处连续，因此f(x)=x³在(-∞,+∞)上连续

得分：

/ 20分

单题评语：

总体评语

对学生整体作业完成情况的评价